Die Auflösung
Um das Problem aufzulösen: Ja, man sollte wechseln, weil die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter der nichtgewählten und ungeöffneten Tür steht 2/3 oder 66,66% ist. Das mag unintuitiv wirken, weil man schließlich die Wahl aus lediglich zwei Türen hat hinter denen sich entweder eine Ziege oder ein Auto befindet und das stimmt, wenn das die vollständige Spielsituation wäre. Der Grundgedanke ist, dass sich die Wahrscheinlichkeit am Anfang die richtige Tür gewählt zu haben (33,33%), nicht ändert, nur weil eine andere Tür geöffnet wird. Um das Ganze etwas klarer zu machen spielen wir das Spiel ein weiteres Mal. Diesmal allerdings nicht mit drei, sondern mit 100 Türen.
Eine andere Variante des Ziegenproblems
100 Türen, 99 Ziegen, 1 Auto
Angenommen, Sie befinden sich in einer Spielshow und haben die Wahl zwischen hundert Toren. Hinter einem Tor ist ein Auto, hinter den anderen befindet sich jeweils eine Ziege. Das Auto und die Ziegen sind vor der Show zufällig auf die Tore verteilt worden, und Sie haben keine Information über die Position des Autos. Die Regeln lauten: Nachdem Sie ein Tor gewählt haben, bleibt dieses zunächst geschlossen. Der Showmaster Monty Hall, der weiß, was sich hinter den Toren befindet, muss nun 98 der 99 verbleibenden Tore öffnen. Hinter den von ihm geöffneten Toren muss sich jeweils eine Ziege befinden. Nachdem Monty Hall die Tore mit einer Ziege geöffnet hat, fragt er Sie, ob Sie bei Ihrer ersten Wahl bleiben oder zum letzten verbliebenen Tor wechseln möchten. Nehmen Sie an, Sie wählen Tor 1, und der Showmaster öffnet Tor 2-99 mit einer Ziege. Er fragt Sie dann: ‚Möchten Sie zu Tor 100 wechseln?‘. Ist es vorteilhaft, Ihre Wahl zu ändern?
Mit hundert Türen wird der Grundgedanken des Spiels nicht verändert, es macht die richtige Antwort nur intuitiver. Mit einer Chance von lediglich einem Prozent hat man sich am Anfang für die richtige Tür entschieden. Entsprechend ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter irgendeiner der anderen Türen befindet 99%. Anstatt diese Wahrscheinlichkeit durch das Öffnen von „falschen“ Türen zu verändern, konzentriert sie sich nur auf die verbleibenden ungeöffneten. Am Ende ist die Wahrscheinlichkeit das Auto hinter der letzten nichtgeöffneten und nichtgewählten Tür zu finden 99%.
Das erste Mal gehört habe ich von dem Ziegenproblem im Film 21. Maßgeblich zum Verständnis hat dieses Video von Numberphile beigetragen. Für diesen Artikel wurden zudem New York Times, Wikipedia und dieser Aufsatz von Peter Mueser herangezogen.