Das Problem
Angenommen, Sie befinden sich in einer Spielshow und haben die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem Tor ist ein Auto, hinter den anderen befindet sich jeweils eine Ziege. Das Auto und die Ziegen sind vor der Show zufällig auf die Tore verteilt worden, und Sie haben keine Information über die Position des Autos. Die Regeln lauten: Nachdem Sie ein Tor gewählt haben, bleibt dieses zunächst geschlossen. Der Showmaster Monty Hall, der weiß, was sich hinter den Toren befindet, muss nun eines der beiden verbleibenden Tore öffnen. Hinter dem von ihm geöffneten Tor muss sich eine Ziege befinden. Nachdem Monty Hall ein Tor mit einer Ziege geöffnet hat, fragt er Sie, ob Sie bei Ihrer ersten Wahl bleiben oder zum letzten verbliebenen Tor wechseln möchten. Nehmen Sie an, Sie wählen Tor 1, und der Showmaster öffnet Tor 3 mit einer Ziege. Er fragt Sie dann: ‚Möchten Sie zu Tor 2 wechseln?‘. Ist es vorteilhaft, Ihre Wahl zu ändern?
Das ist das Monty-Hall-Problem, im deutschen Sprachraum ist es auch unter den Namen Ziegenproblem und Drei-Türen-Problem bekannt. Des Öfteren findet man am Ende der Beschreibung auch die Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit durch einen Türwechsel das Auto zu gewinnen? Obwohl beide Fragen generell auf das gleiche Abzielen, drängt die erste Frage stärker auf eine Intuitionsantwort, während die zweite Variante eher eine mathematische Herangehensweise nahelegt. Während ihr ein bisschen überlegt, erstmal noch ein paar Hintergrundinformationen.
Hintergrundinformationen
Die Fragestellung ist an das Spielprinzip der amerikanischen Spielshow Let’s Make A Deal angelehnt, welches in Deutschland durch die Sendung „Geh auf’s Ganze!“ bekannt wurde. Der Moderator der amerikanischen Show, Monty Hall, ist der Namensgeber dieses Logikspiels. Es ist vor allem deshalb bekannt, weil die Lösung des Spiels für viele Leute auf den ersten Blick unintuitiv erscheint. Aufgekommen ist das Problem erstmals 1975, populär wurde es allerdings erst einige Jahre später, genauer 1990. Immer wieder ist die Frage zum Zentrum wissenschaftlicher Debatten und Arbeiten geworden, in denen es hauptsächlich um die Formulierung der Frage geht. Genauer geht es in der Regel bei diesen Diskussionen um den Auswahlprozess des Moderators, ob er es etwa vorzieht Türen mit höheren Nummern zu öffnen wenn er die Wahl hat et cetera. Deshalb hat man das Monty-Hall-Standard-Problem so definiert, dass der Moderator bei freier Wahl keine Präferenzen für irgendein Tor besitzt. Wenn sich also hinter beiden nichtgewählten Türen eine Ziege befindet ist die Wahrscheinlichkeit, dass Monty Hall eine der beiden Türen öffnet genau 50:50.